→ S 2 ≤ 2 ) ) sollen die NB erfüllt sein. ; x P {\displaystyle r} : ( ( ) ( 2 Nichtlineare Einflüsse der Parameter und Einschränkungen an die Parameter (z. Das Verfahren der Lagrange-Multiplikatoren ist in der mathematischen Optimierung eine Methode zur Lösung von Optimierungsproblemen mit Nebenbedingungen. b Jede zulässige Lösung ist in genau einem der beiden Teilpolyeder (grün umrandet) enthalten. ) aber kein Punkt in seiner Umgebung Die Zielfunktion Abstiegs schließt mit den Flanken des Tangentenkegels einen Winkel kleiner als 90° ein, dann ist λ Mit zunehmender Anzahl an Iterationen geht die gefundene Lösung in die mit Lagrange-Multiplikatoren gefundene über. B. Einschränkungen des Bauraumes, Obergrenzen für Verformungen bei gegebenen Lasten) genügen muss. 3 B. dass nur positive Werte zugelassen sind) führen hier auf ein nichtlineares Programm. {\displaystyle n} {\displaystyle r=100\,,\;a_{0}=100} Math Program 79:397–414, MATH  0 Eine einfachere zeichnerische Darstellung erfolgt durch Isokosten (auch Höhenlinien oder Niveaulinien). Auch die Präzisierung ganzzahliges lineares Programm (engl. {\displaystyle \mu _{i}=0} {\displaystyle {\vec {x}}} ≤ 8 Dieses Optimierungsproblem ist auch eines der wenigen Beispiele, bei denen sich leicht heuristische duale Schranken angeben lassen. ; Athena Scientific, Belmont, Massachussetts, Alt W (1999) Nichtlineare Optimierung. 1 Er besagt, dass der Optimalwert des ganzzahligen Programms um höchstens 180 % höher liegt als der Wert der Lösung der Straf-Parameter und dieser in Dies ist beispielsweise für total unimodulare Matrizen der Fall.   mal so hoch wie der Wert der Lösung → Kapazitäts- oder Absatzbeschränkungen) und diese werden als Nebenbedingungen mit Ungleichungen erfasst: k × 1 + t × 1 <= 3 (es gibt nur 3 Becher). R = {\displaystyle r} Kapitel 6 Optimierung von Funktionen mehrerer Variablen In diesem Kapitel bestimmen wir mit Hilfe der Differentialrechnung Maxima und Minima von Funktionen mehrerer Variablen. Es gibt zwar auch in der ganzzahligen Optimierung Standardmethoden, mit denen durch große algorithmische Fortschritte innerhalb der letzten zehn Jahre mittlerweile viele praktische Planungsprobleme als IP gelöst werden können, aber gerade die Lösung großer ganzzahliger Programme in annehmbarer Zeit erfordert oft eine geschickte Modellierung und eine Kombination mehrerer Lösungsverfahren mit problemspezifischen Anpassungen. 0 Fragen? 3 x Gleichzeitig wird versucht, bessere zulässige Lösungen zu finden, um die untere Schranke anzuheben. $y \geq 0$ bedeutet graphisch, dass nur der Bereich oberhalb der $x$-Achse für die Betrachtung relevant ist. B. Oft sind dabei • die Funktionen 5, 68, 9: R=!R hinreichend glatt (˘2-Funktionen), • Iund Eendliche (evtl. All diese Verfahren sind noch Gegenstand aktueller Forschung. Unable to display preview. {\displaystyle (2{,}8-1)=1{,}8.} Eine Fluggesellschaft möchte eine Flugverbindung zwischen zwei Städten einrichten. − ( {\displaystyle \mu _{i}} schleust verschwindende Diagonalelemente in das Gleichungssystem ein, die bei Anwendung der. − So kann es darum gehen, das Gewicht eines Bauteils zu minimieren, das gleichzeitig bestimmten Anforderungen (z. {\displaystyle {\frac {y}{x}}} sozusagen in einem Gang (der Breite 0) liegt. ∇ ) + sei aus dem $$, $$ \begin{align*} 16x + 6y &\leq 252 \\ 4x + 12y &\leq 168 \end{align*} $$, …und wegen $y \leq 2x$ gilt: $2x - y \geq 0$, in ein Koordinatensystem einzeichnen, muss man die Ungleichung nach $y$ auflösen, und anschließend die Ungleichung als Geradengleichung interpretieren. , falls 8 → ∈ → ∈ Die Vor- und Nachteile der beschriebenen Methoden sind in der Tabelle zusammengefasst: In einem nicht linearen Programm können NB den zulässigen Bereich in einigen Punkten Die farbige Fläche gibt den Bereich an, der die 3. Nebenbedingung erfüllt. A 4.2 Lineare Optimierung mit zwei Variablen 153 Da wir ja an der Maximierung des Gewinns, also an der größtmöglichen Zahl cinteressiert sind, verschieben wir nun die Gerade so lange nach rechts, bis sie den zulässigen Bereich verlässt. {\displaystyle y\leq 2} P x in die Lösung Google Scholar, Kolda TG, Lewis RM, Torczon V (2003) Optimization by direct search: New perspectives on some classical and modern methods. Ziel der Kapazitäts- und Routing-Planung in landesweiten Telekommunikationsnetzen ist es, Kapazität auf den Knoten und Leitungen eines Netzes so zu installieren und Kommunikationsbedarfe darin so zu routen, dass alle Bedarfe erfüllt werden und die Gesamtkosten des Netzes minimal sind. Im Folgenden findest du zu jedem Lösungsfall ein graphisches Beispiel. Man kann zeigen, dass jede Lösung einer Lagrange-Relaxierung eine duale Schranke für das ursprüngliche IP liefert, und dass dieses Verfahren bei geeigneter Anpassung der Multiplikatoren konvergiert. − {\displaystyle 1{,}8/1=1{,}8=180\,\%.} 16 ) f = i {\displaystyle P} Das lineare Programm. Im Unterschied zur linearen Programmierung ist allerdings das zugrundeliegende Polyeder meist nicht genau bekannt, was das Problem aus komplexitätstheoretischer Sicht NP-schwer macht. Die Fritz-John-Bedingungen (oder kurz FJ-Bedingungen) sind genau wie die KKT-Bedingungen ein Optimalitätskriterium erster Ordnung. Nebenbedingungen (Restriktionen) 1965 gab R. J. Dakin einen einfach implementierbaren Algorithmus dazu an. b 1 2 L Sind der Wert einer gefundenen Lösung und die duale Schranke gleich (im Beispiel beim Wert 2), ist dies der Beweis, dass die gefundene Lösung optimal ist. L −   der LP-Relaxierung gesucht, das Gewinn) oder minimieren (z.B. Weiterhin seien die Nebenbedingungen (NB) in Ungleichheitsform n {\displaystyle 1/f} Zur Lösung ganzzahliger Optimierungsprobleme gibt es einerseits exakte Lösungsverfahren wie beispielsweise Branch-and-Bound und Schnittebenenverfahren, die auf der Lösung vieler ähnlicher linearer Programme basieren, und andererseits eine Vielzahl von Heuristiken. f ) R a ( 8 ) Die Lösung ist korrekt, denn es handelt sich um ein Maximum. Die ganzzahlige Optimierung lässt sich, wie die lineare Variante, zu einem großen Teil geometrisch interpretieren. P im zulässigen Gebiet und läuft unter Beachtung der NB (die NB kann man sich als undurchdringliche Wände vorstellen) zum Zielpunkt 0 {\displaystyle U_{\varepsilon }({\vec {x}})} {\displaystyle f>0}  , die den rot gestrichelten Linien entsprechen. P 1 Der Gewinn je K-Becher sei 2 € und je T-Becher 3 €. Zeitaufwand, Kosten) – und gibt es Nebenbedingungen für die Variablen, liegt ein Problem für die lineare Optimierung vor. → Der Simplex-Algorithmus ist an dieser Stelle beendet. , Dann kann man die globalen Extrema in den Teilgebieten mit den in Mathematische Optimierung und Konvexe Optimierung aufgeführten Verfahren berechnen und das optimale auswählen. 100 integer linear program, ILP) ist gebräuchlich. Dieser Punkt ist immer noch nicht zulässig, hat aber den kleineren Zielfunktionswert 7/3, wodurch sich beispielsweise der relative Optimalitätsgap für die Lösung (1;1) von 180 % auf , R {\displaystyle h_{k}:D\rightarrow \mathbb {R} } Schnittebenenverfahren (englisch cutting plane algorithm) berechnen zunächst eine Lösung der LP-Relaxierung. x Das Verfahren findet vor allem dann Anwendung, wenn bekannt ist, dass die NB aktiv ist, z. Der Einheitsvektor wird erzeugt, damit ein Austausch der Variablen möglich wird. 8 Exakte Verfahren finden beweisbar stets eine optimale Lösung oder stellen fest, dass das Problem unlösbar oder unbeschränkt ist, vorausgesetzt, man lässt den Algorithmus beliebig lange laufen. bekommt man g − Karl Mosler . Math Comput 24:647–656, CrossRef  1 < ) ab, so dass die Lösung mittels Kurvendiskussion berechnet werden kann: Hier wird die In der Grafik stimmen Tangentenkegel und Linearisierender Kegel im optimalen Punkt überein und sind rot angedeutet. Sie können u. a. auch als Teil von Branch-and-Cut-Verfahren eingesetzt werden, um diese zu beschleunigen. n Ein energieflexibler Betrieb lässt sich durch die bivalente Ausführung der Ofentechnik realisieren. ; ≈ λ − {\displaystyle {\vec {x}}} Lineare Ungleichungssysteme mit zwei Variablen, Lineare Ungleichungs­systeme mit zwei Variablen. → Papageorgiou, M., Leibold, M., Buss, M. (2015). ¯ = y für alle Zeilen Anyone you share the following link with will be able to read this content: Sorry, a shareable link is not currently available for this article. , sei einmal stetig differenzierbar. {\displaystyle {\bar {x}}} ≤ ν Einige dieser Verfahren haben Prozesse wie die natürliche Selektion oder das Verhalten von Ameisen auf der Suche nach Futter zum Vorbild; inwieweit das für die Lösungsqualität und die Lösungszeiten in der Praxis von Vorteil ist, ist umstritten. Der tatsächliche Unterschied beträgt 1 / D mixed-integer program, MIP). − eine logarithmische Barrierefunktion und r Der Tangentenkegel ist dann die Menge aller möglichen Richtungen aus denen man im Zielpunkt Δ Nocedal J, Wright S (2006) Numerical optimization, 2. 3 g Als alleiniger Algorithmus reicht Branch-and-Bound meist nicht aus, weil zu wenig vom Suchbaum abgeschnitten werden kann. annimmt. 2 T → {\displaystyle {\bar {x}}} In einer Fabrik werden zwei verschiedene Sorten von Kabeln hergestellt und für $150\ \textrm{€}$ (Typ A) bzw. λ PubMed Google Scholar, © 2020 Springer-Verlag GmbH Deutschland, ein Teil von Springer Nature, Walz, G. (2020). S Mit Barrierefunktionen können Neben-Bedingungen mit Sicherheit erfüllt werden zu dem Preis, dass im Optimum die NB nicht ausgereizt wird. r {\displaystyle \Delta b} in ein Minimierungsproblem von c   eine reelle Matrix und , < → − bekommt man   (grün) dargestellt, die das bisherige LP-Optimum (blau) vom IP-Polyeder trennt (separiert). Da mindestens eine Variable diskret, also nicht kontinuierlich ist, ist auch der Begriff diskrete Optimierung gebräuchlich. = x x l / {\displaystyle f} ) {\displaystyle (0,0)} {\displaystyle (1+1/3)} x 0   von dem (unbekannten) Polyeder abschneidet, das von den ganzzahligen Lösungen aufgespannt wird. ( 16 ; ein lokales Optimum ist, dann existieren Konstanten   (im obigen Bild rot gestrichelt) gesucht, das von allen zulässigen ganzzahligen Punkten aufgespannt wird. Ist nur anwendbar, wenn die Aktivität der NB bekannt ist. {\displaystyle \nu _{k}} Als mit dem Aufkommen von Computern in den 1950er Jahren die ersten praktisch einsetzbaren Computerprogramme zur Lösung linearer Programme entwickelt wurden, rückte auch die Lösbarkeit ganzzahliger Optimierungsprobleme in erreichbare Nähe. Der Absatz sei unbeschränkt (die Leute stehen Schlange). Maximum). Im nebenstehenden Beispiel werden, ausgehend von der gebrochenen LP-Lösung Die Fluggesellschaft minimiert ihre Kosten unter Einhaltung der Nebenbedingungen, wenn sie $4$ Flugzeuge des Typ A und $8$ Flugzeuge des Typ B einsetzt. für die Berechnung des Inkrements derart einschränken, dass zwar x {\displaystyle {\bar {x}}} h SIAM Review 45:385–482, Nelder JA, Mead R (1965) A simplex method for function minimization. 0 Zeitaufwand, Kosten) - und gibt es Nebenbedingungen für die Variablen, liegt ein Problem für die lineare Optimierung vor. Die Grundidee besteht darin, „störende“ Ungleichungen wegzulassen, so dass das verbleibende Problem (mit Ganzzahligkeitsbedingungen) leicht lösbar ist, und stattdessen die Verletzung dieser Ungleichungen, gewichtet mit sogenannten Lagrange-Multiplikatoren, in der Zielfunktion zu bestrafen. 10 {\displaystyle c} Mathematisch: Darin ist b / Erneutes Lösen des LPs mit dieser zusätzlichen Ungleichung liefert den grün markierten Punkt (4/3;7/3). f n 1 b a $$ z(6;4) = 4.000 \cdot 6 + 1.000 \cdot 4 = 28.000\ \textrm{€} $$, $$ z(4;8) = 4.000 \cdot 4 + 1.000 \cdot 8 = 24.000\ \textrm{€} \qquad \rightarrow \quad \text{Minimum!} $$, $$ \begin{align*} 200x + 100y &\geq 1600 \\ 6x + 15y &\geq 96 \end{align*} $$. Ist Bei dem Thema Lineare Optimierung hat man es oftmals mit Textaufgaben zu tun. {\displaystyle x\geq 0} t a {\displaystyle P} = ¯ ) x | {\displaystyle (1{,}8;2{,}8)} das Gäbe es keine Beschränkungen, müssten möglichst viel K- und T-Becher "produziert" und verkauft werden, mit jedem Becher steigt der Gewinn. Wie viele Flugzeuge von jedem Typen wird die Fluggesellschaft unter Einhaltung der Nebenbedingungen einsetzen, um ihre Kosten zu minimieren? Typ B kostet pro Flug $1.000\ \textrm{€}$ und kann $100$ Personen und $15$ Tonnen Ladung transportieren. 1 Der Einfachheit halber beschränken wir uns im Folgenden auf eine lineare Optimierung mit zwei Variablen. 8 Die produzierte Menge von B darf nicht größer sein als die doppelte Menge von A. Außerdem beträgt der Materialvorrat derzeit nur $252\ \textrm{kg}$ Plastik und $168\ \textrm{kg}$ Kupfer. Dabei werden diese meist durch zusätzliche Bedingungen eingeschränkt. Ein sog. Falls h x   nichtnegativ sein müssen. k {\displaystyle (10;14)} Die formale Definition eines linearen Optimierungsproblems in zwei Variablen lautet wie folgt: Definition 4.1.   verringert. Derzeit sind zwei Flugzeugetypen verfügbar: $11$ Flugzeuge des Typs A und $8$ Flugzeuge des Typs B. Typ A kostet pro Flug $4.000\ \textrm{€}$ und kann $200$ Personen sowie $6$ Tonnen Ladung transportieren. {\displaystyle {\vec {x}}\in S} k S ein Punkt des zulässigen Gebietes in dem keine NB aktiv sind, insbesondere keine Gleichheitsnebenbedingungen x B. ausdrücken, ob ein bestimmter Bustyp eine Linie befährt oder nicht, oder ob ein U-Bahn-Fahrer einem bestimmten Zug zugewiesen wird oder nicht. Die enormen algorithmischen Fortschritte in der linearen Optimierung in den 1990er Jahren schlugen sich auch in einer deutlich besseren Lösbarkeit ganzzahliger Programme nieder, da beispielsweise bei der Anwendung von Schnittebenenverfahren und Branch-and-Bound-Algorithmen sehr viele lineare Programme gelöst werden müssen. ¯ = {\displaystyle g_{i}\colon D\to \mathbb {R} } ( i ) R= heißt die Grundmenge und Gdie Optimierungsvariable oder einfach die Variable der Aufgabe. Die Übereinstimmung von linearisierenden Kegel und Tangentialkegel wird manchmal auch als eigene Regularitätsbedingung aufgeführt und Abadie Constraint Qualification genannt. Die Barrierefunktionen werden mit Barriereparametern, Straffunktionen: Die Straffunktionen werden wie die Barrierefunktionen eingesetzt. IEEE T Automat Contr 19:209–217, Powell M (1977) Restart procedures for the conjugate gradient method. {\displaystyle (\mu ,\nu ,{\bar {z}})} 1 { Lineares Programm (LP) besteht aus folgenden Bestandteilen: Zielfunktion z = z ( x, y) = d x + d y Die zu maximierende (minimierende) lineare Funktion heißt Zielfunktion. ankommen kann. {\displaystyle 1\leq k\leq l} = In der Praxis kann man diese Verfahren durch Anpassung an das zu lösende Problem und durch Kombination mit Heuristiken oft deutlich beschleunigen. {\displaystyle a+b-16>0} die für a Die NB werden mit Straffunktionen dargestellt, die im zulässigen Bereich verschwinden und bei Verletzung der NB positiv sind. Das Polyeder wird also nicht nachträglich mit Schnittebenen verkleinert.  , d. h. der Optimalwert ist höchstens x und die Funktionen In der Praxis berechnet man in diesem Fall das Optimum mithilfe des sog. Das Vorzeichen des Multiplikators zeigt an, ob die NB aktiv ist oder nicht. Wie auch in der linearen Optimierung gibt es mehrere äquivalente Formulierungen, die sich ineinander transformieren lassen (siehe Lineare Optimierung: Problemdefinition). ) {\displaystyle {\nabla }^{2}\Pi } ≥ = 2 D 8 λ Der Optimalitätsgap reduziert sich damit auf b Man maximiere den Wert der Zielfunktion 2 , wenn der zulässige Bereich $$ \begin{array}{r|r|r|r} & \text{Typ A} & \text{Typ B} & \text{Gesamt} \\ \hline \text{Personen} & 200 & 100 & 1600 \\ \hline \text{Ladung} & 6 & 15 & 96 \\ \hline \text{Kosten} & 4.000 & 1.000 & \end{array} $$, $$ z(x,y) = 4000x + 1000y \quad \rightarrow \quad \text{Min!} ) Aufl. {\displaystyle a} Beispielsweise enthält jede Tour durch {\displaystyle f} {\displaystyle S} ( 14 Comput J 6:163–168, CrossRef  SIAM Review 19:46–89, Conn AR, Gould NIM, Toint PL (2000) Trust-region methods. Neben solchen speziell für ein Problem entwickelten Verfahren gibt es sogenannte Metaheuristiken, die auf problemunabhängige Weise Strategien zur Suche zulässiger Lösungen beschreiben. Das letzte Kapitel Lineare Ungleichungssysteme mit zwei Variablen ist dementsprechend die Grundlage für dieses Kapitel. Der linearisierende Kegel ist dann die Menge aller möglichen Richtungen, aus denen man unter Beachtung der linearisierten NB im Zielpunkt {\displaystyle n=1} {\displaystyle \nabla f={\vec {0}}} Das Lösen der LP-Relaxierung mit den zusätzlichen Bedingungen liefert im rechten Teilproblem die gebrochene Lösung Die Lagrange-Relaxierung ist ein Verfahren aus der nichtlinearen Optimierung, das auch auf die ganzzahlige Optimierung angewandt werden kann. 2 https://doi.org/10.1007/978-3-662-60506-6_4, DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-60506-6_4, Publisher Name: Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg, eBook Packages: Life Science and Basic Disciplines (German Language). 1 Die Anforderungen an die NB stellen sicher, dass im optimalen Punkt der Tangentenkegel und der linearisierende Kegel übereinstimmen und der optimale Punkt nicht isoliert ist. A A Im Gegensatz zu den KKT-Bedingungen kommen sie ohne Regularitätsbedingungen aus, liefern aber eine schwächere Aussage. 0 {\displaystyle \nabla f({\bar {x}})={\vec {0}}} x der Barriereparameter. = g Isolierte Punkte müssen alle einzeln, jeder für sich, auf Optimalität geprüft werden. Maxima und Minima unter Gleichungsnebenbedingungen } , ersetzt. ( Dagegen ist die Entwicklung heuristischer Verfahren, die zuverlässig gute Lösungen finden, und das möglichst auch noch für eine ganze Klasse verwandter Optimierungsprobleme und nicht nur für ein spezielles Problem, eine nicht triviale Aufgabe. Nichtlineare Programme finden sich in vielfältiger Weise in der Wissenschaft und im Ingenieurwesen. ( ) Wiley, Chichester, MATH  1 Wegen Im Innern des Bereichs werden 3 0 Es gibt viele mögliche Formulierungen eines nicht linearen Programms. Anregungen? 2 μ ≠ Im nebenstehenden Bild ist das ganzzahlige lineare Programm. Im linearisierenden Kegel kann man dann aus beiden Richtungen des Gangs ankommen, er linearisierte ja die Wände. In der praktischen Anwendung sind Schnittebenenverfahren ein wichtiges Hilfsmittel, reichen aber allein meist nicht aus und können bei unvorsichtiger Anwendung zu numerischen Problemen führen. Geometrisch entspricht dieses Vorgehen dem Hinzufügen einer Hyperebene, welche die optimale Ecke des LP-Polyeders ( Gewinn) oder minimieren (z.B. November 2022 um 11:22, Linear Programming FAQ, Abschnitt über Integer Programming, Vergleich nichtkommerzieller Codes zum Lösen von MIPs, https://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Ganzzahlige_lineare_Optimierung&oldid=228136286. 2 {\displaystyle S} ( Lesern mit weit in der Vergangenheit liegenden Kenntnissen über Vektoren und Matrizen wird daher an dieser Stelle die Lektüre des Abschn. ) Eine Lösung dieses einfacheren Problems wird in den meisten Fällen die in die Zielfunktion relaxierten Bedingungen nicht erfüllen. ( , das heißt, das Problem hängt von Exkurs: Was bedeutet die Nichtnegativitätsbedingung graphisch? Eine Funktion \(f(x_{1},x_{2})\) zweier Variablen lässt sich im dreidimensionalen Raum wie in Abb. {\displaystyle a+b-16>0} Anyone you share the following link with will be able to read this content: Sorry, a shareable link is not currently available for this article. {\displaystyle (1;2)} Der einzige stationäre Punkt mit k gesichert ist, umformuliert werden.  . a wird von den Nebenbedingungen (NB) eingeschränkt: Für alle Werte der Parameter aus dem zulässigen Bereich ( Sie können aber beispielsweise sehr sinnvoll im Rahmen eines Branch and Cut-Ansatzes eingesetzt werden, um an verschiedenen Knoten des Suchbaumes beispielsweise aus der aktuellen LP-Lösung gute zulässige Lösungen zu generieren und so evtl. Anschaulich geht es darum, eine kürzeste Rundreise zwischen einer gegebenen Menge von Städten zu finden. 8 wird als LP-Relaxierung des ganzzahligen Problems bezeichnet und spielt eine bedeutende Rolle für einige Lösungsverfahren (siehe unten). U k Der Unterschied liegt darin, dass in der ganzzahligen Optimierung einige oder alle Variablen nur ganzzahlige Werte annehmen dürfen und nicht beliebige reelle Werte wie in der linearen Optimierung. , = Besitzt das lineare Programm lediglich zwei Variablen, eignet sich zur Lösung der Optimierungsaufgabe eine graphische Analyse: Grundsätzlich kann es bei Aufgaben der linearen Optimierung eine eindeutige, unendlich viele oder keine (optimale) Lösung geben. x Die ganzzahligen Variablen sind auf die Werte 0 oder 1 beschränkt (sogenannte. Die Subtraktion wird gewählt, damit eine Verletzung der NB bei November 2022 um 11:22 Uhr bearbeitet. Heuristische Verfahren sind meist an das zu lösende Problem angepasst, wie beispielsweise die k-Opt-Heuristiken für das Problem des Handlungsreisenden. x {\displaystyle Ax\leq b} 2 ; folgender Iterationsverlauf: Mit einem größeren Straf-Parameter wäre die Konvergenz schneller, das Beispiel aber weniger illustrativ. benutzt werden. x {\displaystyle g_{i}({\bar {x}})<0} Trivial (und deshalb in den Quellen oftmals nicht behandelt), aber doch zu erwähnen und im praktischen Gebrauch ist, dass aktive NB dazu genutzt werden können, Variable zu eliminieren. / = ¯
Bürstner Eliseo Gebraucht, Quizfragen Für Erwachsene Allgemeinwissen, Articles O